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Ensembles de nombres et algorithmique 21 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS 4. Dans l’algorithme ci-contre, la variable logique x (on dit aussi variable booléenne) n’est pas ini- tialisée. Avec quelle valeur faut- il l’initialiser pour que la variable n prenne la valeur 1 à la sortie de l’algorithme ? a. 0 b. 1 c. VRAI d. FAUX 5. L’algorithme ci-contre donne un conseil d’achat d’une crème solaire selon deux critères : le type de peau (M pour mate, C pour claire) et le nombre d’heures d’exposition par jour. On suppose qu’un utili- sateur désireux de savoir quelle crème lui est desti- née saisit les valeurs M pour la variable t et 3 pour la variable n . Quel sera l’affichage à la fin de l’algorithme ? a. INDICE FORT b. INDICE FAIBLE c. Erreur d’exécution. | | | 19 | ★★ 5 points, 15 min x P . 27 Écrire un algorithme qui permet à un utilisateur de saisir plusieurs nombres entiers (la saisie s’arrête lorsque l’utilisateur saisit un 0), puis qui affiche le plus grand des nombres saisis. Toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Variables x : logique n : entier Initialisations n initialisé à 0 x initialisé à … Traitement Si x alors n prend la valeur sinon n prend la valeur Fin si Sortie Afficher n n 2 + n 1 + Variables x , y : logique n : entier #nombre d’heures d’exposition par jour# t : texte #type de peau# Entrée Saisir t #saisie d’une lettre : C ou M# Saisir n #saisie d’un entier entre 1 et 10# Traitement x prend la valeur ( "C") ET y prend la valeur ( "M") ET Si x OU y alors Afficher "INDICE FORT" sinon Afficher "INDICE FAIBLE" Fin si t = n 2 () t = n 4 ()
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Ensembles de nombres et algorithmique 13 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS TI Casio Saisir n Input n ou Prompt n n prend la valeur 1 (touche ) Afficher n Disp nn Si … alors … sinon … If … Then … Else … End If … Then … else … IfEnd Pour I de 1 à 10 … (par défaut le pas est 1) For(I,1,10) … End For To 10 … Next Pour I de 1 à 10 par pas de 3 For(I,1,10,3) For To 10 Step 3 Tant que … While … End While … WhileEnd Répéter … jusqu’à Repeat … End Répète les instructions jusqu’à ce que la condition devienne vraie (si elle est vraie avant, la boucle n’est jamais exécutée). Do … LpWhile La boucle est exécutée une fois dans tous les cas, puis est répé- tée tant que la condition est vraie. ? n → 1 n → sto → 1 n → 1 n → 1 n → n 10 < n 10 < n 10 < n 0 = n 0 = n 0 =
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NCTHS
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Maths de Laur ent D arré P r ofesseur au ly cée F rançois-M agendie à Bor deaux 100% EX OS
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5 C ALCULS ET FONCTIONS Ensembles de nombres et algorithmique Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exercices Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Contrôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Calculs numériques dans R Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exercices Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Ordre dans R Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Exercices Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Contrôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Calculs algébriques Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Exercices Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Contrôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Généralités sur les fonctions Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Exercices Exercices d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Contrôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Somm air e 1 2 3 4 5
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CORRIGÉS EXERCICES COURS 22 Ensembles de nombres et algorithmique 1 C ORRIGÉS 1 Un nombre qui appartient à l’ensemble est un nombre entier diffé- rent de 0. Un nombre qui appartient à l’ensemble est un nombre réel strictement négatif. Un nombre qui appartient à l’ensemble est un nombre rationnel positif. 2 Un nombre est décimal s’il peut s’écrire , avec et . • , donc 1,234 56 est décimal. • La division par 7 donne un développement décimal périodique. est un nombre rationnel non décimal. • , donc est décimal. • , donc est décimal. • , donc 0,111 111 111 est décimal. • La division par 3, et donc par 9, donne un développement décimal périodi- que. est un nombre rationnel non décimal. 3 ; ; ; ; ; ; ; ; . 4 a. Le produit et la somme de deux nombres entiers est un entier. De même, le carré d’un nombre entier est un entier. Avec et , et ne sont pas entiers. Avec , le nombre n’est pas entier. Ainsi, seuls xy , et x 2 sont toujours entiers. b. Le produit, la somme et le quotient de deux nombres rationnels est un rationnel. Le carré et l’inverse d’un nombre rationnel est un rationnel. Avec (qui est un nombre rationnel), le nombre n’est pas rationnel. Ainsi, seul n’est pas toujours rationnel. * * a 10 n ------- - a ∈ n ∈ 1 234 56 , 123 456 10 5 ------------------ - = 4 7 -- 2 – 10 7 – × 2 – 10 7 ------- - = 2 – 10 7 – × 28 5 ---- - 56 10 1 ------- - = 28 5 ---- - 0 111 111 111 , 111 111 111 10 9 ---------------------------- - = 1 9 -- 62 5 , – ∈ 42 1 , – 10 4 × ∈π ∈ 5 7 -- ∈ 7 5 -- ∈ 3 ∈ 0 ∈ 31 4 , ∈ 107 25 ------- - ∈ x 1 = y 2 = x y -- 1 y -- x 2 = x xy + x 2 = x x
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Cover
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Avant-propos
Sommaire
CALCULS ET FONCTIONS
1 Ensembles de nombreset algorithmique
2 Calculs numériques dans R
Guide
Couverture
Page de titre
Avant-propos
Sommaire
CALCULS ET FONCTIONS
1 Ensembles de nombreset algorithmique
2 Calculs numériques dans R
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14 Ensembles de nombres et algorithmique 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS E XERCICES D ’ APPLICATION E NSEMBLES DE NOMBRES | | | 1 | ★ 3 min x P . 22 Que peut-on dire d’un nombre quand il appartient à l’ensemble ? Et quand il appartient à ? Et quand il appartient à ? | | | 2 | ★ 3 min x P . 22 Les nombres suivants sont-ils des décimaux ou des rationnels ? Justifier. 1,234 56 ; ; ; ; 0,111 111 111 ; . | | | 3 | ★ 5 min x P . 22 Parmi les ensembles , , , , , préciser le plus petit ensemble, au sens de l’inclusion, auquel appartient chaque nombre. ; ; π ; ; ; ; 0 ; 3,14 ; . | | | 4 | ★★ 10 min x P . 22 a. Soit et . Parmi les nombres : xy , , , x 2 , , et , préciser, sans justifier, ceux qui sont des nombres entiers. Donner un contre-exemple pour ceux qui ne sont pas des nombres entiers. b. Soit et . Parmi les nombres : xy , , , x 2 , , et , préciser, sans justifier, ceux qui sont des nombres rationnels. Donner un contre-exemple pour ceux qui ne sont pas des nombres rationnels. * * 4 7 -- 2 – 10 7 – × 28 5 ---- - 1 9 -- 62 5 , – 42 1 , – 10 4 × 5 7 -- 7 5 -- 3 107 25 ------- - x ∈ y * ∈ x y -- xy + x 1 y -- x ∈ y * ∈ x y -- xy + x 1 y --
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CORRIGÉS EXERCICES COURS Ensembles de nombres et algorithmique 25 1 Cela est à rapprocher d’une propriété étudiée dans le chapitre des probabilités : « Lorsque A et B sont deux événements quelconques d’un univers Ω , le contraire de l’intersection est la réunion des contraires : . » Dans le premier algorithme, on a la condition (A) et (B). Dans le second algo- rithme, le contraire de cette condition non(A et B) est écrit comme la réunion des contraires nonA ou nonB. C’est pourquoi les deux traitements sont échan- gés dans l’instruction conditionnelle si…alors…sinon… . b. Dans le premier cas, . Dans le second cas, . 12 À un nombre entier n , on enlève 11 jusqu’à ce qu’on obtienne un nombre r tel que : r est le reste dans la division euclidienne de n par 11. Commentaire Dans l’instruction « Tant que ( condition ), ( traitement ) », le test est situé au début, avant le traitement. Si la condition n’est pas vérifiée au début, le traite- ment n’est jamais exécuté. En utilisant cette instruction dans un algorithme, il faudra s’assurer que le trai- tement modifie la condition pour qu’elle ne soit plus vérifiée ; sinon, le pro- gramme bouclera indéfiniment. La ligne « fin du tant que » est facultative. 13 Saisie et initialisations : , , , . Dressons un tableau avec les valeurs successives des différentes variables : Puisque , on n’exécute plus la boucle « tant que ». D’où (le reste de la division euclidienne de 61 par 7 est 5 puisque ). Finalement, . 14 1. Réponse c. : nombre à écriture décimale périodique, tous ces nom- bres sont des rationnels, mais ne sont pas décimaux. 2. Réponse d. : . u k s p 1 0 4 732 2 2 4 473 3 3 13 47 7 4 41 4 4 5 61 0 AB ∩ AB ∪ = a 19 = a 21 = 0 r 11 < n 4 732 = p 4 732 = s 0 = k 1 = k 5 = r 5 = 6 187 5 + × = c 2 = 13 24 , ------ - 65 12 ---- - =
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16 Ensembles de nombres et algorithmique 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS E XERCICES D ’ ENTRAÎNEMENT E NSEMBLES DE NOMBRES | | | 8 | ★★ 5 min x P . 23 Montrer que est inclus dans . | | | 9 | ★★ 15 min x P . 24 Le nombre rationnel se lit à la calculatrice 5,909 090 90... Les deux chif- fres 9 et 0 reviennent périodiquement et infiniment. On dit que ce nombre a un développement décimal périodique. On note parfois ce nombre 5,90 . Ce nombre est rationnel, mais n’est pas décimal. Écrire sous forme d’une fraction irréductible : a. 2,4 b. 3,02 c. 14,285 714 d. 7,452 . | | | 10 | ★★★ 20 min x P . 24 On considère un cercle de centre O et de rayon r , étant un diamètre de ce cercle. H est un point sur le cercle tel que la perpendiculaire à pas- sant par H coupe la droite en un point P. a. Montrer que : . b. En déduire que : . c. Expliquer comment construire un segment de longueur . 65 11 ---- - AB [] OH () AB () A H O B P PA PB × PO 2 OH 2 – = PA PB × PH 2 = 14
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18 Ensembles de nombres et algorithmique 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS | | | 13 | ★★ 10 min x P . 25 À partir d’un nombre à quatre chiffres, l’algorithme suivant sort un nombre c . Quelle est la valeur de c lorsque l’utilisateur saisit 4 732 ? Variables n , p , s , k , u , r , c : entiers Entrée Saisir n (4 chiffres) Initialisation Initialiser k à 1 Initialiser s à 0 Initialiser p à n Traitement Tant que u prend la valeur du chiffre des unités de p k prend la valeur s prend la valeur p prend la valeur Fin du tant que r prend la valeur du reste dans la division euclidienne de s par 7 c prend la valeur Sortie Afficher c k 4 k 1 + sk u × + pu – 10 ---------- - 7 r –
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Calculs numériques dans R 29 CORRIGÉS EXERCICES COURS 2 Cal culs numériques dans R I AVEC DES PUISSANCES Soit , , et , . • ; • ; • si : et ; • ; • ; • si , . II AVEC DES RACINES CARRÉES • Si a est positif, le nombre est la racine carrée de a . Il est tel que . • Pour tous nombres a et b positifs, . • Pour tous nombres a et b positifs, avec b non nul, . ! Attention à ne pas inventer des règles qui n’existent pas. Par exemple, n’est pas égal à . • , si a est positif. • , si a est négatif. III AVEC DES CARRÉS Soit a et b deux nombres réels quelconques. Si , alors . Si , alors ou . Une utilisation possible de ces constatations : Si deux nombres sont de même signe et si leurs carrés sont égaux, alors ces deux nombres sont égaux. Cela se traduit par : Si et si a et b sont de même signe, alors . m ∈ n ∈ a ∈ b ∈ a m a n × a mn + = a 0 1 = a 0 ≠ a m a n ----- - a mn – = a n – 1 a n ---- - = a m () n a mn = a n b n × ab () n = b 0 ≠ a b -- ⎝⎠ ⎛⎞ n a n b n ---- - = a a () 2 a = ab × ab = a b ------ - a b -- = ab + ab + a 2 a = a 2 a – = ab = a 2 b 2 = a 2 b 2 = ab = ab – = a 2 b 2 = ab =
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Ensembles de nombres et algorithmique 19 1 CORRIGÉS EXERCICES COURS C ONTRÔLE Les calculatrices ne sont pas autorisées. | | | 14 QCM | ★ 2 points, 5 min x P . 25 Pour chacune des questions, une et une seule proposition est exacte. 1. Le plus petit ensemble, au sens de l’inclusion, auquel appartient le nombre 2,111... (infinité de décimales, toutes égales à 1) est : a. b. c. d. 2. Un seul de ces nombres appartient à : a. b. c. 0 d. | | | 15 | ★ 3 points, 10 min x P . 26 Les trois questions sont indépendantes. 1. a. Comment appelle-t-on les nombres qui appartiennent à l’ensemble ? b. Décrire à l’aide de symboles (pris dans la liste , , , , , *) les ensembles suivants : • ensemble des nombres réels strictement positifs ; • ensemble des nombres rationnels. 2. a. Comment peut-on savoir si un nombre rationnel est un nombre décimal ? b. Le nombre est-il décimal ? 3. Dessiner un schéma d’inclusion des ensembles , et . Donner deux exemples de nombres dans chacune des zones ainsi créées. | | | 16 | ★ 4 points, 10 min x P . 26 a. Que peut-on dire d’un nombre s’il appartient à l’ensemble ? b. Trouver un exemple montrant que le produit de deux nombres irrationnels n’est pas toujours un nombre irrationnel. c. Préciser le plus petit ensemble de nombres, au sens de l’inclusion, auquel appartiennent les nombres suivants : ; π ; ; 0,014 ; 2,151 515 ; ; 4,93 ;. | | | 17 | ★ 1 point, 10 min x P . 26 Soit le nombre . Écrire le nombre G sous la forme d’une fraction irréductible. * 3 3 ------ - π 2 -- - 13 24 , ------ - 31 120 ------- - * 5 2 – 7 ------ 111 2 560 ------------ - 42 000 – 10 3 – × G 03 6 , =
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